Contrat à temps partiel / contrat à temps non complet

J'ai un salarié dont le contrat de travail dit qu'il est en temps partiel à 90%. Il se sert de sa demi-journée libre pour être enseignant-vacataire.
Je me demandais si son contrat était bien légal, c'est à dire qu'il peut avoir une autre activité sur son temps partiel, ou si il fallait que je le fasse réécrire pour transformer temps partiel à 90% en temps non complet de 136 h / mois.

Et comme tout le monde confond temps partiel et temps non complet, je ne m'en sors pas sur le net.
Si quelqu'un de pointu pouvait m'éclairer avant que j'essaie de me taper le code du travail ?

Je ne connaissais pas la notion de temps non complet mais je trouve que la page service public y afférente est assez claire : https://www.service-public.fr/particuliers/vosdroits/F13975

la différence entre les deux c'est que le temps partiel est choisi par le salarié, le temps non complet imposé par la structure parce qu'il n'y a pas un besoin pour un temps plein, et surtout, c'est réservé à certains cadres d'emploi fixés par décret.
En l'occurrence il me semble que tu es clairement dans le cas standard d'un temps partiel.

Cette page du service public est assez claire pour comprendre ce qu'est un temps partiel ou un temps non complet mais ne répond pas à ma question.

Ma question est : est ce qu'un salarié qui est en temps partiel peut exercer une autre activité rémunérée sur ce temps partiel ?
Ca, j'ai pas trouvé.

Souvent, on trouve qu'on peut cumuler des temps partiels. Mais en fait, il s'agit de cumul d'emplois à temps non complet : des gens qui ont un contrat à 20 h et un autre à 15 h par exemple.

Certains salariéés se voient imposer par l'employeur de n'exercer aucune autre activité professionnele, salariée ou non
Mais c'est engénéral qu'ils sont employés à temps plein .........

Alors, la notion de temps non complet est réservée aux emplois publics. Dans le privé, elle n'existe pas. Il s'agit bien de temps partiel.
En revanche, le temps partiel ne peut pas être inférieur à 24 h / semaine. Et là, oups, j'ai 4 salariés en dessous parce qu'ils cumulent avec une activité en libéral. On peut déroger aux 24h/semaine en leur demandant leur accord par écrit. Il manque cette pièce dans les dossiers.